设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(π2，3π2)．（Ⅰ）若|AC|=|BC|，求角α的值；（Ⅱ）若AC?BC=-1，求2cos2α+sin2α1+cotα的值．-数学试题及答案

1、试题题目：设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(π2，3π2)．（Ⅰ）若|A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（Ⅰ）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（Ⅱ）若

AC

?

BC

=-1，求

2cos2α+sin2α

1+cotα

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）． …（2分）
由|

AC

|=|

BC

|，得

(cosα-3)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-3)2

．
即cosα=sinα． …（4分）
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，
∴α=

5π

4

．…（6分）
解法二：∵|

AC

|=|

BC

|，
∴点C在直线y=x上．…（3分）
则sinα=cosα． …（4分）
∵α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴α=

5π

4

．…（6分）
（Ⅱ）

2cos2α+sin2α

1+cotα

=

2cos2α+2sinαcosα

1+

cosα

sinα

=

2cosα(cosα+sinα)

sinα+cosα

sinα

=2sinαcosα．…（8分）
由

AC

?

BC

=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=

2

3

．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

4

9

，即2sinαcosα=-

5

9

． …（12分）
∴

2cos2α+sin2α

1+cotα

=-

5

9

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(π2，3π2)．（Ⅰ）若|A..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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