发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-19 07:30:00
| 试题原文 |
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（1）求导函数，可得f′(x)=2?
①a≤1，x＞1，则f′（x）＞0，∴f（x）在[1，+∞）上是单调递增函数，∴f（x）min=f（1）=1； ②a＞1，x＞1，令f′（x）=0，可得x=
当x∈(1，
∴x=
∴g(a)=
（2）证明：记g（x）=f（x）-2ax=x2-2alnx-2ax，则g′(x)=
①充分性：若a=
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上是单调递减函数； 当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上是单调递增函数， ∴当x=1时，g（x）min=g（1）=0，即g（x）≥0，当且仅当x=1时取等号， ∴方程f（x）=2ax有唯一解； ②必要性：若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解，令g′（x）=0，可得x2-ax-a=0， ∵a＞0，x＞0，∴x1=
当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数； 当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，+∞）上是单调递增函数． ∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0， ∴
∴
∴2alnx1+ax1-a=0 ∵a＞0 ∴2lnx1+x1-1=0 设函数h（x）=2lnx+x-1 ∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解． ∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1-1=0的解为x1=1，即x1=
由①②知，“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“a=
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a为实数，函数f（x）=x2-2alnx．（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。