已知向量a=（1，1），b=（1，0），向量c满足a?c=0且|a|=|c|，b?c＞0．（I）求向量c；（Ⅱ）映射f：（x，y）→（x′，y′）=x?a+y?c，若将（x，y）看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a=（1，1），b=（1，0），向量c满足a?c=0且|a|=|c|..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-26 07:30:00

试题原文

已知向量

a

=（1，1），

b

=（1，0），向量

c

满足

a

?

c

=0且|

a

|=|

c

|，

b

?

c

＞0．
（I）求向量

c

；
（Ⅱ）映射f：（x，y）→（x′，y′）=x?

a

+y?

c

，若将（x，y）看作点的坐标，问是否存在直线l，使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数、映射的概念

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设

c

=（x，y），由题意可得

a

?

c

=x+y=0

|

a

|=|

c

|=

x2+y2

=

12+12

解方程组得

x=1

y=-1

或

x=-1

y=1

，
经验证当

x=-1

y=1

时不满足

b

?

c

＞0，当

x=1

y=-1

时满足题意，
故

c

=（1，-1）．
（2）假设直线l存在，∴x

a

+y

c

=（x+y，x-y），∵点（x+y，x-y）在直线l上，
因此直线l的斜率存在且不为零，设其方程为y=kx+b（k≠0），
∴x-y=k（x+y）+b，即（1+k）y=（1-k）x-b，与y=kx+b表示同一直线，
∴b=0，k=-1±

2

．
故直线l存在，其方程为y=（-1+

2

）x，或y=（-1-

2

）x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=（1，1），b=（1，0），向量c满足a?c=0且|a|=|c|..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数、映射的概念”。

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