设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；（1）求f（1）的值；（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性并证明之；（4）若f（12）=2，求不等式f（x-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy）=f（x）+f（y）；
（1）求f（1）的值；
（2）求证：0＜x＜1时，f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性并证明之；
（4）若f（

1

2

）=2，求不等式f（x）+f（2-x）＜2的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0，
令x=-x、y=1得：f（-x）=f（x）+f（1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
证明如下：设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，
∵当x＞1时f（x）＜0，f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）=f（x₂?

x1

x2

）=f（x₂）+f（

x1

x2

），
则f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
（3）由（1）知f（1）=0，
由（2）知，f（x）在（0，+∞）为单调减函数；
∴0＜x＜1时，f（x）＞f（1）=0，
（4）∵f（xy）=f（x）+f（y），且f（

1

2

）=2
∴f（x）+f（2-x）＜2化为：f[x（2-x）]＜f（

1

2

），
∵f（x）在（0，+∞）为单调减函数，
∴

x＞0

2-x＞0

x(2-x)＞

1

2

，解得0＜x＜1+

2

，
故所求的解集为：（0，1+

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）＜0且有f（xy..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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