已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x+

a

x

+2，x∈[1，+∞)．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，利用函数单调性的定义判断并证明f（x）的单调性，并求其值域；
（Ⅱ）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则△x=x₂-x₁＞0，△y=f(x2)-f(x1)=x2+

a

x2

+2-x1-

a

x1

-2=(x2-x1)(1-

a

x1x2

)，…（2分）
当a=

1

2

时，f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-

1

2x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x2-x1＞0，1-

1

2x1x2

＞0，恒成立
∴△y＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为f(1)=1+

1

2

+2=

7

2

，
∴f（x）的值域为[

7

2

，+∞)．
（Ⅱ）f(x)=x+

a

x

+2可变为f(x)=

x2+2x+a

x

，
∵对任意x∈[1，+∞)，f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，恒成立
∴只需对任意x∈[1，+∞），x²+2x+a＞0恒成立．
设g（x）=x²+2x+a，x∈[1，+∞），
∵g（x）的对称轴为x=-1，∴只需g（1）＞0便可，g（1）=3+a＞0，
∴a＞-3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+ax+2，x∈[1，+∞)．（Ⅰ）当a=12时，利用函数单调性的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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