已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；（2）设x1=0，xn+1=f（xn）；y1=12，yn+1=f（yn），其中n=1，2，…，证明：xn＜xn+1＜x0＜yn-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-x²+

x

2

+

1

4

，且存在x₀∈（0，

1

2

），使f（x₀）=x₀．
（1）证明：f（x）是R上的单调增函数；
（2）设x₁=0，x_n+1=f（x_n）；y₁=

1

2

，y_n+1=f（y_n），其中n=1，2，…，证明：x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n；
（3）证明：

yn+1-xn+1

yn-xn

＜

1

2

．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f'（x）=3x²-2x+

1

2

=3（x-

1

3

）²+

1

6

＞0，
∴f（x）是R上的单调增函数．
（2）∵0＜x₀＜

1

2

，即x₁＜x₀＜y₁．又f（x）是增函数，
∴f（x₁）＜f（x₀）＜f（y₁）．即x₂＜x₀＜y₂．
又x₂=f（x₁）=f（0）=

1

4

＞0=x₁，y₂=f（y₁）=f（

1

2

）=

3

8

＜

1

2

=y₁，
综上，x₁＜x₂＜x₀＜y₂＜y₁．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已证明成立．
②假设当n=k（k≥1）时有x_k＜x_k+1＜x₀＜y_k+1＜y_k．
当n=k+1时，
由f（x）是单调增函数，有f（x_k）＜f（x_k+1）＜f（x₀）＜f（y_k+1）＜f（y_k），
∴x_k+1＜x_k+2＜x₀＜y_k+2＜y_k+1
由①②知对一切n=1，2，都有x_n＜x_n+1＜x₀＜y_n+1＜y_n．
（3）

yn+1-xn+1

yn-xn

=

f(yn)-f(xn)

yn-xn

=y_n²+x_ny_n+x_n²-（y_n+x_n）+

1

2

≤（y_n+x_n）²-（y_n+x_n）+

1

2

=[（y_n+x_n）-

1

2

]²+

1

4

．
由（Ⅱ）知0＜y_n+x_n＜1．
∴-

1

2

＜y_n+x_n-

1

2

＜

1

2

，
∴

yn+1-xn+1

yn-xn

＜（

1

2

）²+

1

4

=

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-x2+x2+14，且存在x0∈（0，12），使f（x0）=x0．（1）证..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：