设函数f（x）=x2-2acos[（k-1）π]lnx（k∈N*，a∈R）．（1）若k=2011，a=1，求函数f（x）的最小值；（2）若k是偶数，求函数f（x）的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2-2acos[（k-1）π]lnx（k∈N*，a∈R）．（1）若k=2011，a=1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²-2acos[（k-1）π]lnx （k∈N^*，a∈R）．
（1）若k=2011，a=1，求函数f（x）的最小值；
（2）若k是偶数，求函数f（x）的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为k=2011，a=1，所以f（x）=x²-2lnx，f′（x）=

2(x2-1)

x

(x＞0)，
由f′（x）＞0得x=1，且当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数．
故f（x）_min=f（1）=1．（5分）
（2）当k是偶数时，f（x）=x²-2alnx，f′（x）=

2(x2+a)

x

(x＞0)，
所以当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；（9分）
当a＜0时，由f′（x）=0得x=

-a

，且当x＞

-a

时，f′（x）＞0，当x＜

-a

时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

-a

）上是减函数，f（x）在（

-a

，+∞）上是增函数．（13分）
综上可得当a＞0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的减区间为（0，

-a

），增区间为（

-a

，+∞）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2-2acos[（k-1）π]lnx（k∈N*，a∈R）．（1）若k=2011，a=1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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