已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的解析式；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（-∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）已知函数f（x）=

ax

x2+b

，
∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．…（2分）
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴

f′(1)=0

f(1)=2

，
即

a(1+b)-2a=0

a

1+b

=2

?

a=4

b=1.

，
∴f(x)=

4x

x2+1

．…（4分）
（2）由f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4(1-x2)

(x2+1)2

=0?x=±1．…（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值-2	单调递增	极大值2	单调递减

所以f(x)=

4x

x2+1

的单调增区间为[-1，1]．…（7分）
若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，
则有

m≥-1

2m+1≤1

2m+1＞m

，
解得-1＜m≤0．
即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．…（9分）
（3）分两种情况讨论如下：
①当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减，
要使f（x）≥m恒成立，
必须f(x)min=f(m)=

4m

m2+1

≥m，…（10分）
因为m≤-1，

∴

4

m2+1

≤1，即m2+1≥4，

∴m2≥3

∴m≥

3

(舍去)或者m≤-

3

…（12分）
②当-1＜m＜1时，
由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增，
要使f（x）≥m恒成立，
必须f（x）_min=f（-1）=-2≥m，
故此时不存在这样的m值．
综合①②得：满足条件的m的取值范围是m≤-

3

． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的解析式；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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