已知函数f（x）=px+px-2lnx．（其中p＞0为常数）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）=2x，若在[1，2]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求正数p的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=px+px-2lnx．（其中p＞0为常数）（1）求f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数 f （x）=px+

p

x

-2lnx．（其中p＞0为常数）
（1）求f （x）的单调递增区间；
（2）设g（x）=

2

x

，若在[1，2]上至少存在一点x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，求正数p的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f （x）=px+

p

x

-2lnx，
∴f′(x)=p-

p

x 2

-

2

x

，
由f′(x)=p-

p

x 2

-

2

x

＞0，
两边同时乘以x²，得px²-2x-p＞0．
∵p＞0为常数，
∴解方程px²-2x-p=0，得
x=

2±

4+4p2

2p

=

1±

1+p2

p

，
∴px²-2x-p＞0的解集是（-∞，

1-

1+p2

p

）∪(

1+

1+p2

p

，+∞)．
∵f （x）=px+

p

x

-2lnx的定义域是{x|x＞0}，
∴函数 f （x）=px+

p

x

-2lnx单调增区间为（

1+

p2+1

p

，+∞）．
（2）∵g(x)=

2

x

在[1，2]内是减函数，
∴g(x)min=g(2) =

2

=1，g(x)max=

2

1

=2，
∴g（x）∈[1，2]．
∵f （x）=px+

p

x

-2lnx在[1，2]内是增函数，
∴f(x)max=f(2)=2p+

p

2

-2ln2，
∵在[1，2]上至少存在一点x₀，使得 f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴f（x）_max＞g（x）_min，
∴2p+

p

2

-2ln2＞1，
解得p＞

2+4ln2

5

．
∴p∈（

2+4ln2

5

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=px+px-2lnx．（其中p＞0为常数）（1）求f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：