发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-03 07:30:00
| 试题原文 |
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（1）f'（x）=-lnx，g（x）=x-xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）-f'（a）=-lnx+lna=ln
所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减． 所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）． …（4分） （2）证明：对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，取a=x1，则x2∈（x1，+∞），由（1）得g（x1）＞g（x2）， 即g（x1）=f（x1）-x1f'（x1）＞f（x2）-x2f'（x1）=g（x2）， 所以，f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f'（x1）…①； …（6分） 取a=x2，则x1∈（0，x2），由（1）得g（x1）＜g（x2），即g（x1）=f（x1）-x1f'（x2）＜f（x2）-x2f'（x2）=g（x2）， 所以，f（x2）-f（x1）＞（x2-x1）f'（x2）…②． 综合①②，得（x2-x1）f'（x2）＜f（x2）-f（x1）＜（x2-x1）f'（x1）． …（8分） （3）证明：对k=1，2，…，n-2，令φ（x）=
显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减． 由n-k≥2，得φ（n-k）≤φ（2），即
所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n-k），k=1，2，…，n-2． …（10分） 所以2(
≤
又由（2）知f（n+1）-f（n）＜f′（n）=-lnn，所以lnn＜f（n）-f（n+1）． ∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）-f（2）+f（2）-f（3）+…+f（n）-f（n+1）=f（1）-f（n+1）=1-f（n+1）． 所以，
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。