已知函数fn(x)=(1+1n)x（n∈N*）．（Ⅰ）比较fn′（0）与1n的大小；（Ⅱ）求证：f1′(1)2+f2′(2)3+f3′(3)4+…+fn′(n)n+1＜3．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数fn(x)=(1+1n)x（n∈N*）．（Ⅰ）比较fn′（0）与1n的大小；（Ⅱ）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数fn(x)=(1+

1

n

)x（n∈N^*）．
（Ⅰ）比较f_n^′（0）与

1

n

的大小；
（Ⅱ）求证：

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

+…+

fn′(n)

n+1

＜3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）fn′(x)=(1+

1

n

)xln(1+

1

n

)
则fn′(0)=ln(1+

1

n

)，设函数φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]
则φ′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，则φ（x）单调递减，
所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x
则ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即fn′(0)＜

1

n

；
（Ⅱ）

fn′(n)

n+1

=

(1+

1

n

)nln(1+

1

n

)

n+1

＜

(1+

1

n

)n

n(n+1)

．
因为(1+

1

n

)n＜1+1+

1

1?2

+

1

2?3

++

1

(n-1)n

=3-

1

n

＜3
则

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

++

fn′(n)

n+1

＜3(

1

1?2

+

1

2?3

++

1

(n-1)n

)=3(1-

1

n

)＜3
则原结论成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数fn(x)=(1+1n)x（n∈N*）．（Ⅰ）比较fn′（0）与1n的大小；（Ⅱ）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：