设函数T(x)=2x，0≤x＜122(1-x)，12≤x≤1（1）求函数y=T（x2）和y=（T（x））2的解析式；（2）是否存在实数a，使得T（x）+a2=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）定-数学试题及答案

1、试题题目：设函数T(x)=2x，0≤x＜122(1-x)，12≤x≤1（1）求函数y=T（x2）和y=（T（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

设函数T(x)=

2x， 0≤x＜

1

2

2(1-x)，

1

2

≤x≤1

（1）求函数y=T（x²）和y=（T（x））²的解析式；
（2）是否存在实数a，使得T（x）+a²=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；
（3）定义T_n+1（x）=T_n（T（x）），且T₁（x）=T（x），（n∈N^*）
①当x∈[ 0 ，

1

16

]时，求y=T₄（x）的解析式；
已知下面正确的命题：当x∈[

i-1

16

，

i+1

16

]时（i∈N^*，1≤i≤15），都有T4(x)=T4(

i

8

-x)恒成立．
②若方程T₄（x）=kx恰有15个不同的实数根，确定k的取值；并求这15个不同的实数根的和．

试题来源：浦东新区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数y=T(x2)=

2x2x∈ (-

2

，

2

)

2(1-x2)x∈[-1 ， -

2

]∪[

2

， 1]

函数y=(T(x))2=

4x2

x∈[0 ，

1

2

)

4(1-x)2

x∈[

1

2

， 1]

…4分
（2）T(x)+a2=

2x+a2， 0≤x＜

1

2

2(1-x)+a2，

1

2

≤x≤1

，
T(x+a)=

2x+2a，0≤x+a＜

1

2

2(1-x-a)，

1

2

≤x+a≤1

…6分
则当且仅当a²=2a且a²=-2a时，即a=0．
综上可知当a=0时，有T（x）+a²=T（x+a）=T（x）恒成立．…8分
（3）①当x∈[ 0 ，

1

16

]时，对于任意的正整数j∈N^*，1≤j≤3，
都有0≤2jx≤

1

2

，故有 y=T4(x)=T3(2x)=T2(22x)=T1(23x)=16x．…13分
②由①可知当x∈[ 0 ，

1

16

]时，有T₄（x）=16x，根据命题的结论可得，
当x∈[

1

16

，

2

16

] ?[

0

16

，

2

16

]时，

1

8

-x∈[

0

16

，

1

16

] ?[

0

16

，

2

16

]，
故有T4(x)=T4(

1

8

-x)=16(

1

8

-x)=-16x+2，
因此同理归纳得到，当x∈[

i

16

，

i+1

16

]（i∈N，0≤i≤15）时，T4(x)=(-1)i(24x-i-

1

2

)+

1

2

=

24x-i， i 是偶数

-24x+i+1，i 是奇数

…15分
x∈[

i

16

，

i+1

16

]时，解方程T₄（x）=kx得，x=

(2i+1)-(-1)i

32-(-1)i2k

要使方程T₄（x）=kx在x∈[0，1]上恰有15个不同的实数根，
则必须

(2?14+1)-(-1)14

32-(-1)142k

=

(2?15+1)-(-1)15

32-(-1)152k

解得k=

16

15

方程的根xn=

(2n-1)+(-1)n

32+(-1)n2k

（n∈N^*，1≤n≤15）…17分
这15个不同的实数根的和为：S=x₁+x₂+…+x₁₄+x₁₅=

0+2+4+6+8+10+12+14

16-

16

15

+

2+4+6+8+10+12+14

16+

16

15

=

225

32

．…18分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数T(x)=2x，0≤x＜122(1-x)，12≤x≤1（1）求函数y=T（x2）和y=（T（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：