已知函数f（x）=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（x∈R+，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）若x∈（0，1]时，证明：2[f（x）--数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（x∈R+，e为常数，e=2.718..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x2+2ex，g（x）=3e²lnx+b（x∈R⁺，e为常数，e=2.71828），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）若x∈（0，1]时，证明：2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．

试题来源：兰州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导数可得：f'（x）=x+2e，g′（x）=

3e2

x

，
设f（x）=

1

2

x2+2ex与g（x）=3e²lnx+b的公共点为（x₀，y₀），则有

1

2

x02+2ex0=3e2lnx0+b

x0+2e=

3e2

x0

x0＞0

…（3分）
解得b=-

e2

2

．…（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知g(x)=3e2lnx-

e2

2

．
所以2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]=x²+2lnx．
∴要证x∈（0，1]时，x²+2lnx≤4x-3恒成立，
即证x∈（0，1]时，x²-4x+3+2lnx≤0恒成立．…（8分）
设h（x）=x²-4x+3+2lnx（0＜x≤1），则h′(x)=

2(x-1)2

x

．
∵x∈（0，1]，∴h′（x）≥0（仅当x=1时取等号）．
∴h（x）=x²-4x+3+2lnx在x∈（0，1]上为增函数．…（11分）
∴h（x）_max=h（1）=0．
∴x∈（0，1]时，2[f（x）-2ex]+

1

3e2

[2g（x）+e²]≤4x-3恒成立．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+2ex，g（x）=3e2lnx+b（x∈R+，e为常数，e=2.718..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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