已知函数f（x）=a?2x+a-12x+1．（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（II）确定a的值，使f（x）为奇函数；（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a?2x+a-12x+1．（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

a?2x+a-1

2x+1

．
（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（II）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：f（x）=

a?2x+a-1

2x+1

=a-

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（II）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-（a-

1

2x+1

），
所以2a=

1

2-x+1

+

1

2x+1

=1，即a=

1

2

．
故当a=

1

2

时，f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由（II）知，若f（x）为奇函数，a=

1

2

，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

，
因为2^x＞0，所以0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，所以-

1

2

＜f（x）＜

1

2

．
故f（x）的值域为（-

1

2

，

1

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a?2x+a-12x+1．（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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