（一、二级达标校做）已知函数f（x）=2x+λ2x(x∈R，λ∈R)．（Ⅰ）讨论函数的f（x）奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）当λ=1时，讨论方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[-1，1]上实数解的个数情况，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：（一、二级达标校做）已知函数f（x）=2x+λ2x(x∈R，λ∈R)．（Ⅰ）讨论函数的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

（一、二级达标校做）
已知函数f（x）=2x+

λ

2x

(x∈R，λ∈R)．
（Ⅰ）讨论函数的f（x）奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当λ=1时，讨论方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[-1，1]上实数解的个数情况，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵x∈R，定义域关于原点对称．
当λ=1时，f（-x）=2-x+

1

2-x

=2x+

1

2x

=f（x），此时f（x）为偶函数．
当λ=-1时，f（-x）=2-x+

-1

2-x

=

1

2x

-2x=-f（x），此时f（x）为奇函数．
当λ≠±1时，f（-x）=2-x+

λ

2-x

，显然f（-x）≠f（x），且 f（-x）≠-f（x），故f（x）为非奇非偶函数．
（Ⅱ）当λ=1时，f（x）=2x+

1

2x

，方程f（x）=μ（μ∈R），即 2x+

1

2x

=μ．
令t=2^x，由于-1≤x≤1，∴

1

2

≤t≤2．
再由 g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
∴g（t）的最小值为g（1）=2，最大值为f（

1

2

）=

5

2

，或 g（2）=

5

2

，
故 g（t）的值域为[2，2]，方程即t+

1

t

=μ．
当μ＜2或μ＞

5

2

时，解的个数为0；
当μ=2时，解的个数为1；
当2＜μ≤

5

2

解的个数为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（一、二级达标校做）已知函数f（x）=2x+λ2x(x∈R，λ∈R)．（Ⅰ）讨论函数的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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