已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}的通项公式为an=f(nm)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{an}的前m项和Sm；（Ⅲ）设数列{bn}满足：b1=13，bn+1=b2n+bn-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

4x+2

(x∈R)．
（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=

1

2

；
（Ⅱ）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

n

m

)(m∈N*，n=1，2，…，m)，求数列{a_n}的前m项和S_m；
（Ⅲ）设数列{b_n}满足：b1=

1

3

，bn+1=

b

2n

+bn，设Tn=

1

b1+1

+

1

b2+1

+…+

1

bn+1

，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于2的正整数n，S_m＜T_n恒成立，试求m的最大值

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵f(x)=

1

4x+2

，
∴f(1-x)=

1

41-x+2

=

4x

4+2?4x

=

4x

2(4x+2)

，
∴f(x)+f(1-x)=

1

4x+2

+

4x

2(4x+2)

=

2+4x

2(4x+2)

=

1

2

．
故答案为

1

2

．．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)+f(1-x)=

1

2

，
∴f(

k

m

)+f(1-

k

m

)=

1

2

(1≤k≤m-1)，
即f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

．
∴ak+am-k=

1

2

，
am=f(

m

)=f(1)=

1

6

，
又S_m=a₁+a₂++a_m-1+a_m①S_m=a_m-1+a_m-2++a₁+a_m②
①+②得2Sm=(m-1)×

1

2

+2am=

m

2

-

1

6

，
∴答案为Sm=

1

12

(3m-1)；
（Ⅲ）∵b1=

1

3

，bn+1=

b

2n

+bn=bn(bn+1)③
∴对任意n∈N^*，b_n＞0④

1

bn+1

=

1

bn(bn+1)

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴

1

bn+1

=

1

bn

-

1

bn+1

，
∴Tn=(

1

b1

-

1

b2

)+(

1

b2

-

1

b3

)++(

1

bn

-

1

bn+1

)=

1

b1

-

1

bn+1

=3-

1

bn+1

∵b_n+1-b_n=b_n²＞0，∴b_n+1＞b_n．
∴数列{b_n}是单调递增数列．∴T_n关于n递增，
∴当n≥2，且n∈N^*时，T_n≥T₂．
∵b1=

1

3

，b2=

1

3

(

1

3

+1)=

4

9

，b3=

4

9

(

4

9

+1)=

52

81

，
∴Tn≥T2=3-

1

b3

=

75

52

．（14分）
由题意Sm＜

75

52

，即

1

12

(3m-1)＜

75

52

，
∴m＜

238

39

=6

4

39

∴m的最大值为6．
故答案为6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=14x+2(x∈R)．（Ⅰ）证明f(x)+f(1-x)=12；（Ⅱ）若数列{an}..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：