已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[m2+f′-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数g(x)=(ρ-2)x+

ρ+2

x

-3，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f′(x)=

a

x

-a(x＞0)
（1）当a=1时，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；
令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，f′(x)=

-2

x

+2，
g(x)=x3+x2[

m

2

+2-

2

x

]=x3+(

m

2

+2)x2-2x，g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
因为对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上，
总存在极值，所以只需

g′(2)＜0

g′(3)＞0

，解得-

37

3

＜m＜-9
（3）设F(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-

p+2

x

F′(x)=

2

x

-p+

p+2

x2

=

-px2+2x+(p+2)

x2

=

-p(x+1)(x-

p+2

p

)

x2

当ρ=-1时，F′(x)=

2x+2

x2

＞0，∴F(x)在[1，2]递增，所以F（1）=4＞0成立；
1+

2

p

＜-1，即-1＜p＜0时，不成立，（舍）
-1＜1+

2

p

≤1，即p＜-1时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得ρ≤-1
所以，此时ρ＜-1和ρ=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；ρ＞-1时，均不成立．
综上，ρ≤-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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