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1、试题题目：如图，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

如图，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程．
（2）证明∠PFA=∠PFB．

  试题来源：江西   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：动点的轨迹方程



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）设切点A、B坐标分别为（x0，x02）和（x1，x12）（（x1≠x0），
∴切线AP的方程为：2x0x-y-x02=0；切线BP的方程为：2x1x-y-x12=0．
解得P点的坐标为：xP=
x0+x1
2
，yP=x0x1．
所以△APB的重心G的坐标为，yG=
y0+y1+yP
3
=
x20
+
x21
+x0x1
3
=
(x0+x1)2-x0x1
3
=
4xP2-yp
3
，
所以yp=-3yG+4xG2．
由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x-（-3y+4x2）-2=0，即y=
1
3
（4x2-x+2）．
（2）方法1：因为
FA
=（x0，x02-
1
4
），
FP
=（
x0+x1
2
，x0x1-
1
4
），
FB
=（x1，x12-
1
4
）．
由于P点在抛物线外，则|
FP
|≠0．
∴cos∠AFP=
FP
?
FA
|
FP
||
FA
|
=
x0+x1
2
?x0+(x0x1-
1
4
)(x02-
1
4
)
|
FP
|
x02+(x02-
1
4
)2
=
x0x1+
1
4
|
FP
|
，
同理有cos∠BFP=
FP
?
FB
|
FP
||
FB
|
=
x0+x1
2
?x1+(x0x1-
1
4
)(x12-
1
4
)
|
FP
|
x12+(x12-
1
4
)2
=
x0x1+
1
4
|
FP
|
，
∴∠AFP=∠PFB．
方法2：①当x1x0=0时，由于x1≠x0，不妨设x0=0，则y0=0，所以P点坐标为（
x1
2
，0），
则P点到直线AF的距离为：d1=
|x1|
2
．
而直线BF的方程：y-
1
4
=
x21
-
1
4
x1
x，即（x12-
1
4
）x-x1y+
1
4
x1=0-0．
所以P点到直线BF的距离为：d2=
|(
x21
-
1
4
)
x1
2
+
x1
4
|
(
x21
-
1
4
)2+(x1)2
=
(
x21
+
1
4
)
|x1|
2
x21
+
1
4
=
|x1|
2

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB．
②当x1x0≠0时，直线AF的方程：y-
1
4
=
x20
-
1
4
x0-0
（x-0），即（x02-
1
4
）x-x0y+
1
4
x0=0，
直线BF的方程：y-
1
4
=
x21
-
1
4
x1-0
（x-0），即（x12-
1
4
）x-x1y+
1
4
x1=0，
所以P点到直线AF的距离为：d1=
|(
x20
-
1
4
)(
x0+x1
2
)-x02x1+
1
4
x0|
(
x20
-
1
4
)2+x02
=
|(
x0-x1
2
)(x02+
1
4
)|
x02+
1
4
=
|x1-x0|
2
，
同理可得到P点到直线BF的距离d2=
|x1-x0|
2
，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l：x-y-2=0上运动，过..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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