A、B是双曲线x23-y2=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且AM=MB．（Ⅰ）求|OM|的取值范围（O为坐标原点）；（Ⅱ）求|AB|的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：A、B是双曲线x23-y2=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且AM=MB..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

A、B是双曲线

x2

3

-y²=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且

AM

=

MB

．
（Ⅰ）求|

OM

|的取值范围（O为坐标原点）；
（Ⅱ）求|

AB

|的最小值．

试题来源：唐山三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）双曲线的右准线方程为x=

3

2

，记M（

3

2

，m），并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

AM

=

MB

，知M为AB的中点，则直线AB的斜率k存在，且k≠0，于是直线AB的方程为y=k（x-

3

2

）+m，
代入双曲线方程，并整理得（1-3k²）x²+3k（3k-2m）x-

3

4

（3k-2m）²-3=0
因为 1-3k²≠0，x₁+x₂=3，
所以-

3k(3k-2m)

1-3k2

=3，∴km=

1

2

，
△=9 k²（3k-2m）²+3（1-3k²）[（3k-2m）²-3]=

3(k2+1)(1-3k2)

k2

由△＞0，得 0＜k²＜

1

3

，所以m²＞

3

4

．
因为|

OM

|=

(

3

2

) 2+m2

＞

3

，
故|

OM

|的取值范围为（

3

，+∞）．
（Ⅱ）|

AB

|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）=

3(k2+1) 2

k2(1-3k2

)
因为4k²（1-3k²）≤（

4k2+1-3k2

2

）²=

(k2+1)2

4

所以|

AB

|²≥

48(k2+1)2

(k2+1)2

=48，当且仅当k²=

1

7

时取“=”号．
故当k=±

7

时，|

AB

|取得最小值4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“A、B是双曲线x23-y2=1上两点，M为该双曲线右准线上一点，且AM=MB..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：