已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P-数学试题及答案

1、试题题目：已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-03 07:30:00

试题原文

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

试题来源：江苏模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆的标准方程与一般方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即（a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
花简可得 2a+b-3=0．
（2）∵PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a-

6

5

)2+

4

5

，
故当a=

6

5

时，线段PQ取得最小值为

2

5

．
（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R-1|≤PO≤R+1．
而OP=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a-

6

5

)2+

9

5

，故当a=

6

5

时，PO取得最小值为

3

5

，
此时，b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值为

3

5

-1．
故半径最小时⊙P 的方程为 (x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3

5

-1)2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆的标准方程与一般方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆的标准方程与一般方程”。

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