已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+x²，数列|x_n|（xn＞0）的第一项x₁=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））处的切线与经过（0，0）和（x_n，f （x_n））两点的直线平行（如图）。求证：当n∈N*时，

（1）x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1；
（2）

试题来源：浙江省高考真题试题题型：证明题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）因为f′（x）=3x²+2x
所以曲线y=f （x）在（x_n+1，f （x_n-1））处的切线斜率k_n+1=3x_n+1²+2x_n+1
因为过（0，0）和（x_n，f （x_n））两点的直线斜率是x_n²+x_n
所以x_n²+x_n= 3x_n+1²+2x_n+1。
（2）因为函数h（x）=x²+x 当x>0时单调递增，
而x_n²+x_n=3x_a+1²+2x_n+1 ≤4x_n+1²+2x_n+1
所以

，即

因此

又因为

令y_n=x_n²+x_n则

因为y₁=x²₁+x₁=2
所以

因此

故

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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