已知函数f（x）=x2+ax+2ln（x-1），a是常数。（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线经过y轴上一个定点；（2）若f′（x）＞（a-3）x2对x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；（参考公式：3x3-x-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+ax+2ln（x-1），a是常数。（1）证明曲线y=f（x）在点（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+ax+2ln（x-1），a是常数。
（1）证明曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线经过y轴上一个定点；
（2）若f′（x）＞（a-3）x²对

x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围；（参考公式：3x³-x²-2x+2=（x+1）（3x²-4x+2））
（3）讨论函数f（x）的单调区间。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）

，

f'（2）=6+a，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为y-（2a+4）= （6+a）（x-2）
当x=0时，由切线方程得y=-8，
所以切线经过y轴上的定点（0，-8）。
（2）由f'（x）>（a-3）x²得

对

所以

设

则

g（x）在区间（2，3）上单调递减
所以

则a的取值范围为

。
（3）函数

的定义域为（1，+∞）

若a≥-6，则f'（x）≥0，f（x）在定义域（1，+∞）上单调递增；
若a＜-6，解方程

得

x₁>x₂>1，当x>x₁或1＜x＜x₂时，f'（x）>0；
当x₂＜x＜x₁时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（1，x₂）和（x₁，+∞），单调减区间是[x₂，x₁]。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+ax+2ln（x-1），a是常数。（1）证明曲线y=f（x）在点（..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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