已知α、β∈（0，π2），且α+β＞π2，f(x)=(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x．求证：对于x＞0，有f（x）＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知α、β∈（0，π2），且α+β＞π2，f(x)=(cosαsinβ)x+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-24 07:30:00

试题原文

已知α、β∈（0，

π

2

），且α+β＞

π

2

，f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：∵α+β＞

π

2

，∴α＞

π

2

-β；∵α、β∈（0，

π

2

），

π

2

-β∈(0，

π

2

)；
因为y=sinx，在(0，

π

2

)上为增函数，
y=cosx在(0，

π

2

)上为减函数，
sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ，cosα＜cos(

π

2

-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜

cosα

sinβ

＜ 1，0＜

cosβ

sinα

＜1，
∵y=a^x，（0＜a＜1）在R上为减函数，且x＞0，∴(

cosα

sinβ

)x＜ 1，(

cosβ

sinα

)x＜1，
从而f(x)=(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x＜2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α、β∈（0，π2），且α+β＞π2，f(x)=(cosαsinβ)x+..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数与指数幂的运算（整数、有理、无理）”。

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