已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；（Ⅱ）设a∈R，求函数g（x）=f（x）+a?4x在区间[0，1]上的最大值M（a）的表达式；（Ⅲ）若f（x1）+f（x2）=f（x1）f（x2），f（x1）+f（x2）+f（x3）=f-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；（Ⅱ）设a∈R，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-25 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2^x，x∈R．
（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；
（Ⅱ）设a∈R，求函数g（x）=f（x）+a?4^x在区间[0，1]上的最大值M（a）的表达式；
（Ⅲ）若f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）=f（x₁）f（x₂）f（x₃），求x₃的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：指数函数模型的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）所给的方程即（2^x）²-2?2^x-8=0，可得2^x=4或2^x=-2（舍去），
所以x=2．
（Ⅱ）由于 g（x）=2^x+a?4^x，x∈[0，1]，令t=2^x，则t∈[1，2]，
①当a=0时，M（a）=2；
②当a≠0时，令 h(t)=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

，
若a＞0，则M（a）=h（2）=4a+2，
若a＜0，当0＜-

1

2a

＜1，即a＜-

1

2

时，M（a）=h（1）=a+1，
当-

1

2a

＞2，即-

1

4

＜a＜0时，M（a）=h（2）=4a+2，
当1≤-

1

2a

≤2，即-

1

2

≤a≤-

1

4

时，M(a)=h(-

1

2a

)=-

1

4a

，
综上，M(a)=

4a+2，a＞-

1

4

a+1，a＜-

1

2

-

1

4a

，-

1

2

≤a≤-

1

4

．

（Ⅲ）由题意知：

2x1+2x2=2x1+x2

2x1+2x2+2x3=2x1+x2+x3

，化简可得2x1+x2+2x3=2x1+x2?2x3，
所以2x3=

2x1+x2

2x1+x2-1

=

t

t-1

，
其中t=2x1+x2=2x1+2x2≥2

2x1+x2

=2

t

，所以t≥4，
由2x3=

t

t-1

=

1

1-

1

t

知2x3的最大值是

4

3

，又y=2^x单调递增，
所以x3=log2

4

3

=2-log23．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解方程：f（2x）-f（x+1）=8；（Ⅱ）设a∈R，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中指数函数模型的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中指数函数模型的应用”。

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