若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an，bn∈N*）．（1）求a4+b4的值；（2）证明：bn=(1+2)n+(1-2)n2；（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+2)n]=2bn-1．当n为奇数时，上述结果是-数学试题及答案

1、试题题目：若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an，bn∈N*）．（1）求a4+b4的值；（2）证明：bn=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-28 07:30:00

试题原文

若n∈N^*，(1+

2

)n=

2

an+bn（a_n，b_n∈N^*）．
（1）求a₄+b₄的值；
（2）证明：bn=

(1+

2

)n+(1-

2

)n

2

；
（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+

2

)n]=2bn-1．当n为奇数时，上述结果是否依然成立？如果不成立，请用b_n表示[(1+

2

)n]（不必证明）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：排列与组合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）(1+

2

)4=

C

04

+

C

14

?

2

+

C

24

(

2

)2+

C

34

(

2

)3+

C

44

(

2

)4=12

2

+17，
所以a₄=12，b₄=17，a₄+b₄=29． …（3分）
（2）当n为偶数时，(1+

2

)n=

C

0n

+

C

1n

?

2

+

C

2n

(

2

)2+…+

C

nn

(

2

)n，bn=

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

nn

(

2

)n，
而(1-

2

)n=

C

0n

+

C

1n

?(-

2

)+

C

2n

(-

2

)2+…+

C

nn

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

nn

(

2

)n]，
所以bn=

(1+

2

)n+(1-

2

)n

2

成立． …（6分）
当n为奇数时，(1+

2

)n=

C

0n

+

C

1n

?

2

+

C

2n

(

2

)2+…+

C

nn

(

2

)n，bn=

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

n-1n-1

(

2

)n-1，
而(1-

2

)n=

C

0n

+

C

1n

?(-

2

)+

C

2n

(-

2

)2+…+

C

nn

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0n

+

C

2n

(

2

)2+

C

4n

(

2

)4+…+

C

n-1n-1

(

2

)n-1]，
所以bn=

(1+

2

)n+(1-

2

)n

2

成立． …（9分）
（3）由（2）可得2bn=(1+

2

)n+(1-

2

)n是正整数，-1＜1-

2

＜0，所以当n为偶数时，0＜(1-

2

)n＜1，…（12分）
则有2bn-1＜(1+

2

)n＜2bn，
所以2b_n-1是不超过(1+

2

)n的最大整数，[(1+

2

)n]=2bn-1． …（14分）
当n为奇数时，[(1+

2

)n]=2bn． …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an，bn∈N*）．（1）求a4+b4的值；（2）证明：bn=..”的主要目的是检查您对于考点“高中排列与组合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中排列与组合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：