已知数列{an}的前n项和Sn，且，其中a1=1，an≠0，（1）求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是等差数列；（3）设数列{bn}满足，Tn为{bn}的前n项和，求证：2T-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn，且，其中a1=1，an≠0，（1）求a2，a3，a4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，且

，其中a₁=1，a_n≠0，
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）设数列{b_n}满足

，T_n为{b_n}的前n项和，
求证：2T_n＞log₂（2a_n+1），n∈N*．

试题来源：浙江省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）解：

，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4
（2）证明：已知式即

，故

因为a_n≠0，当然a_n+1≠0，所以a_n+2﹣a_n=2（n∈N*）．
由于

，且a₁=1，故a₂=2．
于是a_2m﹣1=1+2（m﹣1）=2m﹣1，a_2m=2+2（m﹣1）=2m，
所以a_n=n（n∈N*）．
（3）解：由

，
得

，

故

．
从而

.

．
因此

=

设

故

．
注意到f（n）＞0，所以f（n+1）＞f（n）．
特别地

，
从而2T_n﹣log_{2 ^(2an}_⁺¹⁾=log₂ f（n）＞0．
所以2T_n＞log₂(2a_n+1)，n∈N*．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn，且，其中a1=1，an≠0，（1）求a2，a3，a4..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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