如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2，（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1AC；（Ⅱ）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值。-数学试题及答案

1、试题题目：如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-03 07:30:00

试题原文

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A₁A=AB=2，
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值。

试题来源：山东省期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱体、椎体、台体的表面积与体积

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，
且AB是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC，
∵AA₁⊥平面ABC，BC

平面ABC，
∴AA₁⊥BC，
∵AA₁∩AC=A，AA₁

平面AA₁C，AC

平面AA₁C，
∴BC⊥平面AA₁C。
（Ⅱ）解：设AC=x，
在Rt△ABC中，

（0＜x＜2），
故

（0＜x＜2），
即

，
∵0＜x＜2，0＜x²＜4，
∴当x²=2，即

时，
三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱体、椎体、台体的表面积与体积”。

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