椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为42，A，B分别是椭圆的左右顶点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4

2

，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁?k₂为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=

S2(x)

x+3

，求函数f（x）的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意得，2a=6，∴a=3．
又2c=4

2

，∴c=2

2

，b²=a²-c²=1，故椭圆的方程为

x2

9

+y2=1．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-3，0），B（3，0），，则

x02

9

+y02=1，即

y

20

=1-

x

20

9

，则k1=

y0

x0+3

，k2=

y0

x0-3

，即 k1?k2=

y

20

x

20

-9

=

1-

x

20

9

x

20

-9

=-

1

9

，∴k₁?k₂为定值 -

1

9

．
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，则 S(x)=

1

2

(6+2x)|y|，且y2=1-

x2

9

，
于是，f(x)=

S2(x)

x+3

=

(x+3)2(1-

x2

9

)

x+3

=-

x3

9

-

x2

3

+x+3 （0＜x＜3），
f′(x)=-

x2

3

-

2

3

x+1．令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
当0＜x＜1，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜3，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以f（x）在x=1时取得极大值，也是最大值

32

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：