已知：圆x2+y2=1过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆x2a2+y2b2=1相交于A，B两点记λ=OA?OB，且23≤λ≤34．（Ⅰ）求椭圆-数学试题及答案

1、试题题目：已知：圆x2+y2=1过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点，与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知：圆x²+y²=1过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于A，B两点记λ=

OA

?

OB

，且

2

3

≤λ≤

3

4

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解；（Ⅰ）由题意知，椭圆的焦距2c=2∴c=1
又∵圆x²+y²=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴b=1，∴a=

2

∴圆的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）∵直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，∴原点O到直线的距离

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1
把直线y=kx+m代入椭圆

x2

2

+y2=1，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₁，y₂），则

x1+x2=-

4km

2k2+1

x1x2=

2(m2-1)

2k2+1

λ=

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=（1+k²）

2(m2-1)

2k2+1

-

4k2m2

2k2+1

+m²
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

2

3

≤

k2 +1

2k2+1

≤

3

4

，解得，

1

2

≤k²≤1
∴k的取值范围是[-1，-

2

]∪[

2

，1]；
（Ⅲ）|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[(-

4km

2k2+1

)2-4

2(m2-1)

2k2+1

]=（1+k²）[

16k2(k2+1)

(2k2+1)2

-

8k2

2k2+1

]
=（1+k²）

8k2

(2k2+1)2

=2-

2

(2k2+1)2

S_△OAB²=

1

4

|AB|²×1=

1

4

（2-

2

(2k2+1)2

）
∵

1

2

≤k²≤1，∴

2

9

≤

2

(2k2+1)2

≤

1

2

∴

3

2

≤2-

2

(2k2+1)2

≤

16

9

，∴

3

8

≤

1

4

(2-

2

(2k2+1)2

)≤

4

9

即

3

8

≤S_△OAB²=≤

4

9

∴

6

4

≤S_△OAB≤

2

3

∴△OAB的面积S的取值范围为[

6

4

，

2

3

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：圆x2+y2=1过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点，与..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：