若直线l与椭圆C：x23+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：若直线l与椭圆C：x23+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

若直线l与椭圆C：

x2

3

+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，
∴可取A(

3

2

，y1)，代入椭圆得

(

3

2

)2

3

+

y

21

=1，解得y1=±

3

2

．
∴|AB|=

3

．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，化为m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3m2-1

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
当k≠0时，|AB|2=3+

12

9k2+

1

k2

+6

≤3+

12

2×3+6

=4，当且仅当k2=

1

3

时取等号，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=

3

．综上可知：|AB|_max=2．△OAB的面积最大值为=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若直线l与椭圆C：x23+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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