已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，并且直线y=x+b是抛物线C2：y2=4x的一条切线．（I）求椭圆C1的方程．（Ⅱ）过点S(0，-13)的动直线l交椭圆C1于A、B两点，试问：在直角坐标平面-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，并且直线y=x+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（I）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点S(0，-

1

3

)的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：许昌二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由

y=x+b

y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0
直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
所以△=0?b=1e=

c

a

=

2

?a=

2

所以椭圆C1：

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x²+y²=1
所以两圆的切点为点（0，1）（8分）
所求的点T为点（0，1），证明如下．
当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）
当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：y=kx-

1

3

由

y=kx-

1

3

x2

2

+y2=1

得（18k²+9）x²-12kx-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

x1+x2=

12k

18k2+9

x1x2=

-16

18k2+9

TA

?

TB

=x1x2-

4

3

(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)

-16

18k2+9

-

4

3

×

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以

TA

⊥

TB

，即以AB为直径的圆过点（0，1）
所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，并且直线y=x+..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：