已知x，y∈R，2x+3y=13，则x2+y2+1的最小值为_____

1、试题题目：已知x，y∈R，2x+3y=13，则x2+y2+1的最小值为______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-14 07:30:00

试题原文

已知x，y∈R，2x+3y=13，则x²+y²+1的最小值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法1：根据解析几何的性质可知，2x+3y=13表示直线的方程，
则x²+y²表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线2x+3y=13距离为直线的点到原点的最短距离，
故x²+y²的最小值为（

|-13|

4+9

）²=13，
则x²+y²+1的最小值为14；
解法2：因为2x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x²+y²）（2²+3²）≥（2x+3y）²，
即13（x²+y²）≥13²，
即x²+y²≥13，
当且仅当

3x=2y

2x+3y=13

即

x=2

y=3

时取等号，
即x²+y²的最小值为13．
则x²+y²+1的最小值为14．
故答案为：14

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x，y∈R，2x+3y=13，则x2+y2+1的最小值为______．”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线的距离”。

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