已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．（1）求证：{an+1+2an}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|++|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．（1）求证：{an+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）．
（1）求证：{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|++|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1，a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2）
∵a₁=5，a₂=5∴a₂+2a₁=15
故数列{a_n+1+2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=5?3ⁿ由待定系数法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ）
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ（9分）
（3）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-

2

3

）ⁿ
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=（-

2

3

）+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿS_n=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹（11分）
得S_n=+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=

2

3

[1-(

2

3

)n]

1-

2

3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜6
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，只须m≥6（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．（1）求证：{an+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：