如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）。（1）若m=n时，如图1，求证：EF=AE；-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-12-27 07:30:00

试题原文

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）。

（1）若m=n时，如图1，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图2，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得 EF=（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：全等三角形的性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形。在OA上取点G，使AG = BE；
（2）假设存在点E，使EF=AE，设E（a，0），作FH⊥x轴于H，如图，由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF， ∴ FH=OE，EH=OA， ∴ 点F的纵坐标为a，即FH=a，由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°， ∴BH=FH=a，又由C（m，n）有OB=m， ∴BE=OB-OE=m-a， ∴EH=m-a+a=m，又EH=OA=n， ∴m=n，这与已知m≠n相矛盾，因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立。
（3））如（2）图，设E（a，0），FH=h，则EH=OH-OE=h+m-a，由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得 △AOE∽△EHF， ∴EF=（t + 1）AE等价于FH=（t + 1）OE，即h=（t + 1）a，且，即，整理得nh=ah+am-a²， ∴，把h=（t + 1）a 代入得，即 m-a=（t + 1）（n-a），而m=tn，因此tn-a=（t + 1）（n-a），化简得ta=n，解得， ∵ t＞1， ∴ <n<m，故E在OB边上， ∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动..”的主要目的是检查您对于考点“初中全等三角形的性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中全等三角形的性质”。

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