如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点M，使得第二、四象限的角平分线恰好平分∠AOM；（3）连接OA-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求一点M，使得第二、四象限的角平分线恰好平分∠AOM；
（3）连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵此抛物线过原点（0，0）， ∴设y=ax²+bx，将A代入得， ∴1=4a+2b， ∵A（2，1）为顶点， ∴=2， ∴b=-4a， ∴1=4a+2×（-4a）=-4a， ∴a=-， ∴b=1， ∴y=-+x；
（2）∵y=-x平分∠AOM，∠FOE=∠HOE=45°， ∴∠1=∠2，如图①，作AE⊥OA，EN⊥ON（E在y=-x上）， ∴ON=OA，作AR⊥x，NS⊥y， ∴∠ORA=∠OSN=90°，且AR=1，OR=2，在△OAR与△ONS中， ∴△OAR≌△ONS（AAS） ∴AR=NS=1，OR=OS=2， ∴N（-1，-2）， ∴l∶ON，y=2x M即为ON与抛物线交点， ∴ ∴ ∴M（-4，-8）；
（3）当△OAB∽△OBP时， ∠AOB=∠BOP， ∴OB平分∠AOP或∠ABP， ∴l：OP₁必过点（2．-1）， ∴1∶OP₁，y= ∴ ∴ ∴P₁（6，-3）， ∴l：BP₂必过点（2，-1）， ∴l：BP₂，y= ∴ ∴ ∴P₂（-2，-3），如图②，连OP₂，BP₁，作P₂Q⊥y轴， ∴P₂Q =2，OQ=3，在Rt△OP₂Q中，OP₂=，由抛物线对称性得OP₂=BP₁= ∴OP₂≠OB，BP₁≠ OB， ∴不存在P点（抛物线上）使△OBP与△OAB相似。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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