如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：；（3）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-07-05 07:30:00

试题原文

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：

；
（3）若∠ABP=15°，△ABC的面积为4，求PC的长．

试题来源：四川省中考真题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：解直角三角形

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°，
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，

，
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD，
∴

；
（3）设正△ABC的高为h，则h=BC·sin60°，
∵

BC·h=4

，即

BC·BC·sin60°=4

，解得BC=4，
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴

，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，
使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，作GH⊥RN，垂足为H，
设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=MN，
∵在Rt△GHN中，NH=GN·cos30°，GH=GN·sin30°，
于是RH=GH，MN=RN·sin45°，
∴cos15°=

，
在图中，作OF⊥PC于E，
∴PC=2FD=2OC·cos15°=

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点。..”的主要目的是检查您对于考点“初中解直角三角形”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中解直角三角形”。

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