已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-t．（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，π2]上有解，求t的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-t．（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，π2]上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求t的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值．

试题来源：浙江模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-t=

3

sin2x+cos2x+1-t
=2（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）+1-t
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴方程f（x）=0有解，即

-1+1-t≤0

2+1-t≥0

，解之得0≤t≤3；
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）-2
可得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵A是三角形的内角，∴A=

π

3

根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc
∵b+c=2，可得bc≤（

b+c

2

）²=1
∴a²=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3=2²-3=1
即当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=23sinxcosx+2cos2x-t．（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，π2]上..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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