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1、试题题目：已知函数f(x)=2sinx?sin(π2+x)-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=2sinx?sin(
π
2
+x)-2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(
x0
2
)=
2
3
，x0∈(-
π
4
，
π
4
)，求cos2x0的值．

  试题来源：朝阳区二模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：任意角的三角函数



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ） f（x）=2sinx?cosx-2sin2x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=
2
sin(2x+
π
4
)．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π．…（5分）
令2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），…（6分）
可得 2kπ-
3π
4
≤2x≤2kπ+
π
4
，
即 kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
3π
8
， kπ+
π
8
]（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得f(
x0
2
)=sinx0+cosx0=
2
3
，…（9分） 
 两边平方，可得 1+sin2x0=
2
9
，
所以，sin2x0=-
7
9
． …（11分） 
因为x0∈(-
π
4
，
π
4
)，所以2x0∈(-
π
2
，
π
2
)，
所以，cos2x0=
1-(-
7
9
)2
=
4
2
9
．…（13分）
解法二：因为x0∈(-
π
4
，
π
4
)，
所以x0+
π
4
∈(0，
π
2
)．…（9分）
又因为f(
x0
2
)=
2
sin(2?
x0
2
+
π
4
)=
2
sin(x0+
π
4
)=
2
3
，
解得 sin(x0+
π
4
)=
1
3
．…（10分）
所以，cos(x0+
π
4
)=
1-(
1
3
)2
=
2
2
3
．…（11分）
所以，cos2x0=sin(2x0+
π
2
)=sin[2(x0+
π
4
)]=2sin(x0+
π
4
)cos(x0+
π
4
)
=2?
1
3
?
2
2
3
=
4
2
9
．…（13分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=2sinx?sin(π2+x)-2sin2x+1（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最..”的主要目的是检查您对于考点“高中任意角的三角函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中任意角的三角函数”。


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