（1）已知z的共轭复数是.z，且z?.z-3i?z=101-3i，求z．（2）已知z是虚数，求证：z+1z为实数的充要条件是|z|=1．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）已知z的共轭复数是.z，且z?.z-3i?z=101-3i，求z．（2）已知z是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-19 07:30:00

试题原文

（1）已知z的共轭复数是

.

z

，且z?

.

z

-3i?z=

10

1-3i

，求z．
（2）已知z是虚数，求证：z+

1

z

为实数的充要条件是|z|=1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：充分条件与必要条件

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则

.

z

=a-bi，代入z?

.

z

-3i?z=

10

1-3i

，得a²+b²-3ai+3b=1+3i
故有

a2+b2+3b=1

a=-1

得

a=-1

b=0或-3

，
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得z?

.

z

=1，即

.

z

=

1

z

，故z+

1

z

=2a，是实数
必要性：由z+

1

z

为实数，即a+bi+

1

a+bi

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i是实数，
即b-

b

a2+b2

=0，可得a²+b²=1，故有|z|=1
综上证明知，z+

1

z

为实数的充要条件是|z|=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）已知z的共轭复数是.z，且z?.z-3i?z=101-3i，求z．（2）已知z是..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。

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