（1）证明：对?x＞0，lnx≤x-1；（2）数列{an}，若存在常数M＞0，?n∈N*，都有an＜M，则称数列{an}有上界．已知bn=1+12+…+1n，试判断数列{bn}是否有上界．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）证明：对?x＞0，lnx≤x-1；（2）数列{an}，若存在常数M＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-22 07:30:00

试题原文

（1）证明：对?x＞0，lnx≤x-1；
（2）数列{a_n}，若存在常数M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，则称数列{a_n}有上界．已知bn=1+

1

2

+…+

1

n

，试判断数列{b_n}是否有上界．

试题来源：江门一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：全称量词与存在性量词

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证：（1）设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，?x＞0.g/(x)=

1

x

-1…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
当0＜x＜1时，g/(x)=

1

x

-1＞0，g（x）单调递增…（3分）；
当x＞1时，g/(x)=

1

x

-1＜0，g（x）单调递减…（4分），
所以g（x）在x=1处取最大值，即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）数列{b_n}无上界…（7分）?n∈N^*，设x-1=

1

n

…（8分），x=1+

1

n

，
由（1）得ln(1+

1

n

)≤

1

n

，

1

n

≥ln

n+1

n

…（10分），
所以bn=1+

1

2

+…+

1

n

≥ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）…（13分），
?M＞0，取n为任意一个不小于e^M的自然数，
则bn=ln(n+1)＞lneM=M，数列{b_n}无上界…（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）证明：对?x＞0，lnx≤x-1；（2）数列{an}，若存在常数M＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中全称量词与存在性量词”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中全称量词与存在性量词”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：