若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要-数学试题及答案

1、试题题目：若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=f(x)x在I上是减..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=

f(x)

x

在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）证明函数h（x）=x²+a²x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=

f(x)

x

=1+

4

x

在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”，g（x）=x²+4x在（1，2）上是增函数，但

g(x)

x

=x+4在（1，2）上不是减函数，
所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h（x）=x²+a²?x+4的对称轴为x=-

a2

2

≤0，开口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函数．
下面证明函数F（x）=

h(x)

x

=x+

4

x

+a2在（0，1]上是减函数．
设0＜x₁＜x₂≤1，
则F(x1)-F(x2)=(x1+

4

x1

+a2)-(x2+

4

x2

+a2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴F(x1)-F(x2)=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
所以F（x）在（0，1]上单调递减，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=f(x)x在I上是减..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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