己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．（Ⅲ）令g(x)=x22f(x)．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．-数学试题及答案

1、试题题目：己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；（Ⅱ）求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

己知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=

x2

2f(x)

．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）=

2x2-1

2x2+1

-

2x1-1

2x1+1

=

2?2x2-2?2x1

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

当x₁＜x₂时，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵2x=

1+y

1-y

，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=

x2

2

?

2x+1

2x-1

易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=

(-x)2

2

?

2-x+1

2-x-1

=

x2

2

?

1+2x

1-2x

=-

x2

2

?

2x+1

2x-1

=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；（Ⅱ）求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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