已知函数g(x)=1sinθ?x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-m-1x-lnx，m∈R．（1）求θ的值；（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设h(x)=2ex，若在-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g(x)=1sinθ?x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

已知函数g(x)=

1

sinθ?x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x)=mx-

m-1

x

-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设h(x)=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

试题来源：开封二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意，g′(x)=-

1

sinθ?x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ?x-1

sinθ?x2

≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ?x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ?1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx．
∴(f(x)-g(x))′=

mx2-2x+m

x2

．
∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

，（

2

x+

1

x

）_max=1，∴m≥1．mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，而

2x

x2+1

∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
当m＞0时，(F(x))′=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

．
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max=F(e)=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g(x)=1sinθ?x+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f(x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：