已知f（x）=x+asinx．（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＞0时，求g(x)=f(x)x在[π6，5π6]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x+asinx．（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，求g(x)=

f(x)

x

在[

π

6

，

5π

6

]上的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f'（x）=1+acosx≥0对x∈（-∞，+∞）恒成立．（2分）
令t=cosx，则1+at≥0对t∈[-1，1]恒成立，
∴

1+a?(-1)≥0

1+a?1≥0

，解得-1≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-1，1]．（6分）
（Ⅱ）当a＞0时，g(x)=

f(x)

x

=1+

asinx

x

，∴g′(x)=

a(xcosx-sinx)

x2

，（8分）
记h（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π），则h'（x）=-xsinx＜0对x∈（0，π）恒成立，
∴h（x）在x∈（0，π）上是减函数，∴h（x）＜h（0）=0，即g'（x）＜0，
∴当a＞0时，g(x)=

f(x)

x

在（0，π）上是减函数，得g（x）在[

π

6

，

5π

6

]上为减函数．（11分）
∴当x=

π

6

时，g（x）取得最大值1+

3a

π

；当x=

5π

6

时，g（x）取得最小值1+

3a

5π

．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x+asinx．（Ⅰ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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