已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．（1）设b=φ（c），求φ（c）；（2）设D（x）=g(x)f(x)（其中x＞-b）在[-1，+∞）上是增函数，求c的最小值；（3）是否存在常数-数学试题及答案

1、试题题目：已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（1）设b=φ（c），求φ（c）；
（2）设D（x）=

g(x)

f(x)

（其中x＞-b）在[-1，+∞）上是增函数，求c的最小值；
（3）是否存在常数c，使得函数H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切，
∴方程x+b=x²+bx+c只有一个根，即x²+（b-1）x+c-b=0，
∴△=（b-1）²-4×（c-b），
∴（b+1）²=4c，b＞-1，c＞0，
∴b+1＞0，∴b=2

c

-1，
∴b=φ（c）=2

c

-1；
（2）依题意设D（x）=

x2+bx+c

x+b

=x+

c

x+b

，
∴D′（x）=1-

c

(x+b)2

=（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）
∵D（x）在[-1，+∞）上是增函数，
∴（1+

c

x+b

）（1-

c

x+b

）≥0在[-1，+∞）上恒成立，
又x＞-b，c＞0，
∴上式等价于1-

c

x+b

≥0在[-1，+∞）上恒成立，
即

c

≤x+b，而由（Ⅰ）可知

c

≤x+2

c

-1，
∴

c

≥1-x，
又函数1-x在[-1，+∞）上的最大值为2，
∴

c

≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．
（3）由H（x）=（x+b）（x²+bx+c）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc
可得H′（x）=3x²+4bx+（b²+c）
令3x²+4bx+（b²+c）=0，依题意设欲使函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点，
则需满足△=4（b²-3c）=4（c-4

c

+1）＞0，
亦即c-4

c

+1＞0，解得

c

＜2-

3

或

c

＞2+

3

，
又c＞0，∴0＜c＜7-4

3

或c＞7+4

3

，
故存在常数c∈（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞），使得函数H（x）在（-∞，+∞）内有极值点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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