发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00
试题原文 |
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(I)因为f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+∞),且f′(x)=
由f′(x)>0得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0); 由f’(x)<0得x>0,f(x)的单调递减区间为(0,+∞). (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)
>
又lim
因此c<1,即实数c的取值范围是(-∞,1). (Ⅱ)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)因为
则c<n+2-
设g(n)=n+2-
考虑g(x)=x+2-
因为g′(x)=1-
所以g(x)在[1,+∞)内是减函数;则当n∈N*时,g(n)随n的增大而减小, 又因为
所以对一切n∈N,g(n)>1因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞,1]. (ⅱ)由(ⅰ)知
下面用数学归纳法证明不等式
①当n=1时,左边=
②假设当n=k时,不等式成立.即
当n=k+1时,
=
即n=k+1时,不等式成立 综合①、②得,不等式
所以
即
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经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(1+x)-x(1)求f(x)的单调区间;(2)记f(x)在区间[0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。