已知函数f(x)=ln(ax+1)+1-x1+x，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ln(ax+1)+1-x1+x，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得x＞

2-a

a

，由f'（x）＜0解得x＜

2-a

a

，
∴f（x）的单调减区间为(0，

2-a

a

)，单调增区间为(

2-a

a

，+∞)．
（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在x=

2-a

a

处取得最小值f(

2-a

a

)＜f（0）=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(ax+1)+1-x1+x，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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