已知函数f(x)=ax-1x-2lnx．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）a为何值时，函数f（x）在区间[1e，e]上有零点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax-1x-2lnx．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）a为何值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax-

1

x

-2lnx．
（I）求f（x）的单调递增区间；
（II）a为何值时，函数f（x）在区间[

1

e

，e]上有零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′（x）=

ax2-2x+1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0?ax²-2x+1＞0
①若a=0，则0＜x＜

1

2

，f（x）的递增区间是(0，

1

2

)；
②若a＜0，则△=4-4a＞0
方程ax²-2x+1=0的两根x1=

1+

1-a

a

＜0，x2=

1-

1-a

a

＞0，
当0＜x＜

1-

1-a

a

时，＞0
∴f（x）的递增区间是(0，

1-

1-a

a

]
③若a＞0且△=4-4a＞0，即0＜a＜1时，
方程ax²-2x+1=0的两根x1=

1-

1-a

a

＞0，x2=

1+

1-a

a

＞0，
此时f（x）的递增区间为(0，

1-

1-a

a

]和[

1+

1-a

a

，+∞)
④若a＞0且△=4-4a≤0即a≥1时f'（x）≥0
此时的递增区间为（0，+∞）．
（II）问题等价于方程f（x）=0在[

1

e

，e]上有实根，
而f（x）=0?a=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]
令g(x)=

1

x2

+

2lnx

x

，x∈[

1

e

，e]g′(x)=

2

x3

(x-xlnx-1)
再令?（x）=x-xlnx-1，则?'（x）=-lnx
当0＜x＜1时，?'（x）＞0，?（x）↗，当x＞1时，?'（x）＜0，?（x）↘
∴当x=1时，?（x）取得唯一的极大值也是?（x）的最大值（?（x））_max=?（1）=0
∴当x∈（0，+∞）时，g'（x）≤0∴g（x）在（0，+∞）上单调递减
∴当x∈[

1

e

，e]时，g(x)∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]
故当a∈[

1

e2

+

2

e

，e2-2e]时，函数f（x）在[

1

e

，e]上有零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax-1x-2lnx．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）a为何值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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