已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+132，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤π2．（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；（Ⅲ）若对（II）中所-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+132，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤π2．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+

1

32

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤

π

2

．
（Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（Ⅲ）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当cosθ=0时f(x)=4x3+

1

32

，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故无极值．
（II）f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得x1=0，x2=

cosθ

2

．
由0≤θ≤

π

2

及（I），只需考虑cosθ＞0的情况．
当x变化时，f'（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

x

（-∞，0）

0

（0，

cosθ

2

）

cosθ

2

（

cosθ

2

，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

递增

极大值

递减

极小值

递增

因此，函数f（x）在x=

cosθ

2

处取得极小值f(

cosθ

2

)，且f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

1

32

．
要使f(

cosθ

2

)＞0，必有-

1

4

cos3θ+

1

32

＞0，
可得0＜cosθ＜

1

2

，所以

π

3

＜θ＜

π

2

（III）由（II）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与(

cosθ

2

，+∞)内都是增函数．
由题设，函数f（x）在（2a-1，a）内是增函数，
则a须满足不等式组

2a-1＜a

a≤0

或

2a-1＜a

2a-1≥

1

2

cosθ

由（II），参数θ∈(

π

3

，

π

2

)时，0＜cosθ＜

1

2

．要使不等式2a-1≥

1

2

cosθ关于参数θ恒成立，必有2a-1≥

1

4

．
综上，解得a≤0或

5

8

≤a＜1．
所以a的取值范围是(-∞，0]∪[

5

8

，1)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+132，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤π2．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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