已知函数f(x)=12x2-mlnx，其中m＞0．（1）若m=1，求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若函数y=f（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤2恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2-mlnx，其中m＞0．（1）若m=1，求函数y=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

x2-mlnx，其中m＞0．
（1）若m=1，求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若函数y=f（x）（x∈（0，3]）的图象上任意一点处切线的斜率k≤2恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得，函数的定义域为（0，+∞）．
当m=1，f′(x)=x-

1

x

=

x2-1

x

，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
函数y=f（x）的单调递减区间（0，1）．
（2）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

≤2对任意的x∈（0，3]恒成立，
∴m≥x²-2x对任意的x∈（0，3]恒成立∴m≥（x²-2x）_max
而当x=3时，x²-2x取最大值为3，∴m≥3．
（3）f′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

=

(x-

m

)(x+

m

)

x

，且m＞0f′(x)=0?x=

m

；
f′(x)＞0?x＞

m

，f′(x)＜0?0＜x＜

m

，
∴y=f（x）在(0，

m

)上递减；
而在(

m

， +∞)上递增．
∴y=f（x）在（0，+∞）上有极小值（也就是最小值）f(

m

)=

1

2

m-mln

m

=

1

2

m(1-lnm)，
若函数y=f（x）在[1，e]上有两个零点，
而f(1)=

1

2

， f(e)=

1

2

e2-mlne=

1

2

e2-m，
∴

f(1)≥0

f(e)≥0

f(

m

)＜0

1＜

m

＜e

解得e＜m≤

1

2

e2，
实数m的取值范围 e＜m≤

1

2

e2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2-mlnx，其中m＞0．（1）若m=1，求函数y=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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